Huzita’nın kağıt katlama tekniğinde, P noktası l doğrusu üzerinde ve Q noktası m doğrusu üzerinde kalıyor.
Rehmeyer

Sonuç olarak origami artistleri Öklid’in çizebildikleri ve bazı ek çizgileri de oluşturabilirler. Özellikle, Japon Hokkaido Üniversitesi’nden Hisashi Abe, bir açıyı eş üç parçaya bölmek için gereken doğruları oluşturacak, Öklidsel olmayan tekniği nasıl keşfetti.

Açıyı üçe bölmede ilk basamak, açının bir kenarını kağıdın alt kenarı boyunca yerleştirmektir.

İkinci aşamada, kağıdı üç eş parçaya bölecek iki yatay paralel doğru eklenir. P ve Q noktaları şekildeki gibi belirlenir.

P ve Q noktaları, l ve m doğruları üzerine gelecek şekilde kağıt katlanır.

Kağıt açıldığında, şekildeki yeşil doğrular açıyı üçe böler. Kırmızı doğrular ise katlamaları gösteriyor.

Yine de, Galois teoremi bozulmadan duruyor ve mektubu yazanlar yanlıştır. Bir açıyı cetvel ve pergel kullanarak üç eş parçaya bölmek imkansızdır. Gerçekte Hull, Galois teoremini göstermek için de origamiyi kullanıyor.

Referanslar:

Casselman, B. 2007. If Euclid had been Japanese. Notices of the American Mathematical Society 54 (May):626-628. Available at http://www.ams.org/notices/200705/comm-casselman-web.pdf.

Hull, T. 2006. Project Origami: Activities for Exploring Mathematics. Wellesley, Mass.: A.K. Peters Ltd. See http://www.akpeters.com/product.asp?ProdCode=2582 and http://www.akpeters.com/ProjectOrigami/.

Peterson, I. 2006. Folding perfect thirds. Science News Online (June 17). Available at http://www.sciencenews.org/articles/20060617/mathtrek.asp.

______. 2005. Paper bags and tricky folds. Science News Online (July 23). Available at http://www.sciencenews.org/articles/20050723/mathtrek.asp.

______. 2001. Folding maps. Science News Online (Jan. 6). Available at http://www.sciencenews.org/articles/20010106/mathtrek.asp.

______. 1995. Paper folds, creases, and theorems. Science News 147(Jan. 21):44. Available at http://www.sciencenews.org/pages/pdfs/data/
1995/147-03/14703-18.pdf.

1. ABC dar açılı bir üçgen ve A₁, B₁, C₁ noktaları, A₁B₁C₁ üçgeni ABC üçgenine benzer olacak şekilde sırasıyla BC, CA, AB üzerinde olsun. A₁B₁C₁  üçgeninin diklik merkezinin ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ile çakıştığını ispatlayınız.

2. n sayısı aşağıdaki koşulları sağlıyor,

i. n bir pozitif tek tamsayıdır
ii. bazı tek tamsayılar var öyle ki, karelerinin toplamı n⁴ tür.

Böyle tüm sayıları bulunuz.

3. 2007x 2007 lik bir tahtanın tüm birim kareleri üzerine 1 yada -1 yazılıyor. Tahta üzerindeki her kare için, karelerdeki sayıların toplamının mutlak değerinin 1 yada 1 den küçük olacağı tüm yazılımların sayısını bulunuz.

Binlerce tamsayı dizisinden oluşturulmuş, online olarak gezilebilen ve istenen dizi kolaylıkla araştırılabilen bir internet ansiklopedisi.

Bir dizinin birkaç terimini yazarak diziye ulaşabilirsiniz. Herhangi bir dizi tanımlayıp, bunun için bir formül olup olmadığını ve sonraki terimini buldurabilirsiniz. Dizilerle alakalı genel bilgiler bulabilirsiniz. Sadece tamsayı değil, diğer tipteki dizileri de araştırabilirsiniz.

Sitenin adresi: http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html

1¹+6¹+8¹=15=2¹+4¹+9¹
1²+6²+8²=101=2²+4²+9²

1¹+5¹+8¹+12¹=26=2¹+3¹+10¹+11¹
1²+5²+8²+12²=234=2²+3²+10²+11²
1³+5³+8³+12³=2,336=2³+3³+10³+11³

1¹+5¹+8¹+12¹+18¹+19¹=63=2¹+3¹+9¹+13¹+16¹+20¹
1²+5²+8²+12²+18²+19²=919=2²+3²+9²+13²+16²+20²
1³+5³+8³+12³+18³+19³=15,057=2³+3³+9³+13³+16³+20³
1⁴+5⁴+8⁴+12⁴+18⁴+19⁴=260,755=2⁴+3⁴+9⁴+13⁴+16⁴+20⁴

Burada daha ötesi söylenemez. Öğrencileriniz muhtemelen Ooo! diyeceklerdir. Eğer böyle olduysa, amacınıza ulaşmışınız demektir.

“Yakın gelecekte dünyayı benim kuşağım idare edecek. Biz 4+4=9 diyorsak, bundan sonra böyle olacaktır.”

1. Altı köşeli bağlı şemaların (connected graphs) sayılarını bulunuz. (köşelerin farklı oldukları kabul ediliyor)

2. İki A ve B noktaları ve bunlardan geçen bir w çemberi veriliyor. P (A ve B den farklı), w çemberi üzerinde değişken bir noktadır. M noktası için, MP doğrusu APB açısının açı ortayı (M noktası çemberin dışında) ve MP=AP+BP dir. M noktasının geometrik yerini bulunuz.

3. a,b,c toplamları 1 olan üç pozitif sayıdır.

olacağını gösteriniz.

Birçok matematikçi, sadece cetvel ve pergel kullanarak bir açıyı üç eş parçaya ayırabildiğini iddia eden, isimsiz bir şahıstan uzun bir mektup aldılar. Matematikçi mektubun pasajlarını kahkahalar ile arkadaşlarına okuduktan sonra çöpe atar. Detaylarını okumadan dahi matematikçi bunun yanlış olduğunu bilir. 19. yy’ın başlarında, genç Fransız matematikçi Evariste Galois bu problemin imkansız olduğunu ispatladı.

Sonraları, matematikçiler cetvel ve pergel kullanmadan, sadece kağıdı katlayarak bir açıyı üç eş parçaya bölebileceklerini buldular.

Robert Lang yukarıdaki uçan bastonu, yırtılmamış tek parça kare kağıttan yaptı. Böylesine karmaşık origam modelleri yapmak için, origami modellerinin katlama çizgilerini çıkaracak şekilleri matematiksel olarak analiz eden yazılımlar dizayn etti.

Öklid geometrisi, Lang’ın bu figürleri içeren teoremleri ispat ve oluşturmada kullandığı bir aksiyomlar kümesine dayanır.Bu aksiyomlar, iki noktayı birleştirerek veya var olanı uzatarak bir doğru oluşturmaya olanak verir. Bunlar aynı zamanda, verilen bir doğruyu yarıçap olarak kullanarak çember çizmeye de izin verir. Öklid doğruları bir çizim yada şemada gösterilebilen matematiksel soyutlamalardır. Bu şemaların çiziminde iki alet kullanılır: bir cetvel ve bir pergel.

Origami ressamları cetvel yerine, kağıdı katlayarak çizgiler oluştururlar. İtalya’da Padua üniversitesinden Humiaki Huzita gibi bazı matematikçiler, origami katlamalarını kullanarak oluşturulabilecek figürlerin sınırını araştırdılar. Huzita soyut çizgiler oluşturmak üzere origami katlamalarını, altı tane matematiksel aksiyomlar kümesi içine kodladı. Onun aksiyomları ile Öklid’inkiler benzerdi. Bunların beşi, birinin, Öklid’in çizdiği gibi doğrular oluşturmasına olanak veriyordu. Altıncı ise, Öklid’in oluşturmayı bilemediği türden doğruların çizimine olanak tanıyordu.

Geçmiş ve gelecekte Fibonacci sayılarını takip eden sitede, en acemiden en uzmana kadar, çok farklı yapıda insan için materyal var.

İlgileneler için sitenin adresi: _http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

“Hızla daha karmaşıklaşan dünyada, bazen eski sorulara yeni yanıtlar gerekir.”

Sitede gerçekten çok fazla sayıda başlık yer almış: Cebir, geometri, aritmetik, oyun ve bulmacalar, mantık, görsel yanılmalar, sosyal konular, fraktallar ve kaos, bilgisayar matematiği, olasılık, yanlış doğrular, kombinasyon, matematik eğlenceleri vb.

 Sitenin adresi: _http://www.cut-the-knot.org/index.shtml

Uzun zamandır takip ettiğim bu site, matematiğin derinlerine inmek isteyen acemiler için bulunmaz hazine; ama ne yazık ki ingilizce şart!